Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas:
- São duas frações algébricas com a mesma variável
. - Os denominadores são
e . - A operação é subtração entre as duas frações.
- O objetivo é obter uma forma mais simples (uma única fração simplificada, se possível).
Passo 2
Regra que vamos usar (explicação didática):
- Para somar ou subtrair frações com o mesmo incógnita (aqui,
), é preciso ter um denominador comum. O denominador comum mais simples é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. - Alternativa rápida: se as duas parcelas têm um fator comum (aqui,
), podemos fatorar esse e operar apenas sobre os coeficientes numéricos.
Vou usar as duas formas para ficar bem claro.
Passo 3
Método por fatoração do fator comum:
- Observar que ambas as parcelas têm
como fator. Podemos escrever
Explicação: puxei o
em evidência porque
e
.
Passo 4
Calcular a diferença dentro do parêntese:
- Primeiro achar o denominador comum de
e . O MMC de e é . - Reescrever cada fração com denominador
:
- Subtrair numeradores:
Passo 5
Voltar ao fator
e multiplicar:
Isso já está na forma de fração única e não é possível simplificar mais, a menos que se conheça um valor específico de
que poderia cancelar algum fator comum com
ou
. Como
é simbólico, mantemos
.
Passo 6
Método alternativo (direto com denominador comum, para reforçar):
- Transformar cada termo para o mesmo denominador
:
- Subtrair:
mesmo resultado, chequeando a coerência dos métodos.
Passo 7
Verificação numérica rápida (sanity check):
- Se escolhermos
, a expressão original dá
- A solução
com dá
confirma que o resultado está correto.