Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{\left(a^{2}-9\right) b^{2}}{b^{3}(a-3)}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão algébrica dada. A expressão que temos é:
\frac{\left(a^{2}-9\right) b^{2}}{b^{3}(a-3)}
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: \left(a^{2}-9\right) b^{2}.
  • Denominador: b^{3}(a-3).
  • O objetivo é simplificar (fatorar e reduzir fatores comuns), mantendo em mente as restrições de domínio que impedem divisões por zero.

Passo 2

Vamos olhar para o fator \left(a^{2}-9\right) no numerador. Este é um caso clássico de diferença de quadrados. A fórmula geral é:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Aplicando com x=a e y=3:
a^{2}-9=(a-3)(a+3).

Passo 3

Substituindo essa fatoração na expressão original obtemos:
\frac{(a-3)(a+3)\,b^{2}}{b^{3}(a-3)}.
Agora vemos claramente que o fator (a-3) aparece no numerador e no denominador. Pelo princípio de cancelamento de fatores iguais (válido somente se o fator for diferente de zero), podemos eliminar (a-3) desde que a\neq3. Após cancelar:
\frac{(a+3)\,b^{2}}{b^{3}} \qquad\text{(válido para }a\neq3\text{)}.á

Passo 4

Restou a potência de b. Use a regra de potências para divisão:
\frac{b^{m}}{b^{n}}=b^{m-n}.
Aqui m=2 e n=3, então
\frac{b^{2}}{b^{3}}=b^{2-3}=b^{-1}=\frac{1}{b},
válido para b\neq0. Aplicando isso:
\frac{(a+3)\,b^{2}}{b^{3}}=(a+3)\cdot\frac{1}{b}=\frac{a+3}{b}.

Passo 5

Juntando as condições de validade que usamos durante o cancelamento, a simplificação é válida para a\neq3 e b\neq0. Para ganhar confiança, um chequinho numérico rápido: escolha a=5 e b=2.
Cálculo direto:
\frac{(5^{2}-9)\cdot2^{2}}{2^{3}(5-3)}=\frac{(25-9)\cdot4}{8\cdot2}=\frac{16\cdot4}{16}=4.
Cálculo com a expressão simplificada:
\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4.
Confere!

Passo 6

Resumo do procedimento que usei (útil para a prova): fatorar expressões (como diferença de quadrados), identificar fatores iguais em numerador e denominador, cancelar lembrando das restrições (não dividir por zero) e usar regras de potências para simplificar restos como b^{2}/b^{3}.

Resposta

\dfrac{a+3}{b}
\text{válido para }a\neq3,\\ b\neq0á

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