Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{\left(x^{2}-1\right)}{(x-1)} \times(x+1)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a expressão \dfrac{\left(x^{2}-1\right)}{(x-1)} \times (x+1).
  • Pede para simplificar essa expressão algébrica quando possível.
  • Informação implícita importante: o denominador original é (x-1), então a expressão não está definida em \,x=1.

Passo 2

Fatoração necessária (fórmula e motivo):
  • Existirá uma simplificação se soubermos fatorar \,x^{2}-1. Essa é uma diferença de quadrados. A identidade é:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
  • Explicando: (x-1)(x+1)=x\cdot x + x\cdot1 -1\cdot x -1\cdot1 = x^{2}+x-x-1 = x^{2}-1.

Passo 3

Substituir a fatoração na expressão original:
\frac{x^{2}-1}{x-1}\times(x+1)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\times(x+1).
Agora há um fator comum (x-1) no numerador e no denominador.

Passo 4

Cancelamento de fatores e cuidado com domínio:
  • Regra de cancelamento: se um fator aparece em numerador e denominador, pode-se cancelar desde que esse fator seja diferente de zero.
  • Aqui, ao cancelar (x-1) assumimos (x-1)\neq0, isto é, x\neq1.
    Cancelando obtemos:
(x+1)\times(x+1)=(x+1)^{2}.

Passo 5

Formas equivalentes e expansão:
  • A forma simplificada (fatorada) é (x+1)^{2}.
  • Expandindo, obtemos a forma polinomial
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.
  • Observação crucial de equivalência: a simplificação é válida para todo x tal que x\neq1, porque a expressão original não está definida em x=1.

Passo 6

Verificação numérica rápida para ganhar confiança:
  • Tome x=2: expressão original \dfrac{2^{2}-1}{2-1}\times(2+1)=\dfrac{3}{1}\times3=9. Expressão simplificada (2+1)^{2}=9. Concordam.
  • Tome x=1: expressão original tem denominador zero (não definida). A expressão simplificada dá (1+1)^{2}=4, mas isso NÃO representa o valor da expressão original em x=1 (porque o original não existe aí). Por isso a restrição x\neq1 é necessária.

Resposta

(x+1)^{2},\;x\neq1

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