Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a expressão
. - Pede para simplificar essa expressão algébrica quando possível.
- Informação implícita importante: o denominador original é
, então a expressão não está definida em .
Passo 2
Fatoração necessária (fórmula e motivo):
- Existirá uma simplificação se soubermos fatorar
. Essa é uma diferença de quadrados. A identidade é:
- Explicando:
.
Passo 3
Substituir a fatoração na expressão original:
Agora há um fator comum
no numerador e no denominador.
Passo 4
Cancelamento de fatores e cuidado com domínio:
- Regra de cancelamento: se um fator aparece em numerador e denominador, pode-se cancelar desde que esse fator seja diferente de zero.
- Aqui, ao cancelar
assumimos , isto é, .
Cancelando obtemos:
Passo 5
Formas equivalentes e expansão:
- A forma simplificada (fatorada) é
. - Expandindo, obtemos a forma polinomial
- Observação crucial de equivalência: a simplificação é válida para todo
tal que , porque a expressão original não está definida em .
Passo 6
Verificação numérica rápida para ganhar confiança:
- Tome
: expressão original . Expressão simplificada . Concordam. - Tome
: expressão original tem denominador zero (não definida). A expressão simplificada dá , mas isso NÃO representa o valor da expressão original em (porque o original não existe aí). Por isso a restrição é necessária.