Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\frac{x^{2}-4 x+4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{2}-4x+4}{x-2}.
Informações dadas:
  • O numerador é um polinômio quadrático x^{2}-4x+4.
  • O denominador é o binómio linear x-2.
  • Como o denominador aparece em uma fração, a expressão original não está definida quando x=2 (não se pode dividir por zero).

Passo 2

Vou analisar o numerador para ver se dá para fatorá-lo. Uma forma bem direta é reconhecer um quadrado perfeito: lembrar da identiade da soma/diferença de um binómio ao quadrado:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui temos termos parecidos com essa forma: o termo quadrático x^{2}, o termo constante 4 e o termo linear -4x.

Passo 3

Aplicando a identidade com a=x e b=2, obtemos
(x-2)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 2+2^{2}=x^{2}-4x+4.
Portanto o numerador é exatamente um quadrado perfeito e pode ser escrito como (x-2)^{2}. Isto é, peguei essa igualdade comparando os coeficientes do numerador.

Passo 4

Reescrevendo a expressão original com a fatoração encontrada:
\frac{x^{2}-4x+4}{x-2}=\frac{(x-2)^{2}}{x-2}.

Passo 5

Agora podemos simplificar a fração cancelando um fator comum (x-2) no numerador e no denominador. Atenção importante: o cancelamento só é válido quando o fator que se está cancelando for diferente de zero. Como o fator é x-2, isso exige x\neq2. Realizando o cancelamento para x\neq2 obtemos
\frac{(x-2)^{2}}{x-2}=x-2,\qquad \text{para }x\neq2.

Passo 6

Interpretação final e cuidado na prova: a forma simplificada x-2 representa a mesma função que a fração original em todos os x diferentes de 2. Porém, a expressão original é indefinida em x=2, enquanto a expressão algébrica x-2 está definida em x=2 (valendo 0). Então, ao responder, sempre destaque a restrição de domínio que veio do denominador.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}-4x+4}{x-2}=x-2,\quad x\neq2

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