É verdadeiro ou falso?
Se u(x, t)=(T2-T1) xL+T1+sumn=1^+infty cn e^-pi^2 alpha^2 n^2 t / L^2 sen pi n xL e a convergência é uniforme, então alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t e u(0, t)=T1, u(L, t)=T2.

Passo 1

O enunciado apresenta a série
u(x,t)=l(T2-T1r)xL+T1+sumn=1^+inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2sinpi n xL
e afirma que, sob convergência uniforme, essa função satisfaz a equação do calor
alpha^2partial^2upartial x^2=partial upartial t
com as condições de contorno
u(0,t)=T1, u(L,t)=T2
O conteúdo é resolução da equação do calor por separação de variáveis e uso de convergência uniforme para diferenciar termo a termo.

Passo 2

Verificamos as condições de contorno. Para x=0 e x=L temos
sinpi ncdot 0L=0, sinpi ncdot LL= sin(pi n)=0,
logo a soma some nessas fronteiras e resta apenas o termo linear:
u(0,t)=l(T2-T1r)cdot 0+T1=T1, u(L,t)=l(T2-T1r)cdot 1+T1=T2

Passo 3

Pela convergência uniforme da série de funções, podemos diferenciar termo a termo em x. Primeiro derivamos duas vezes em x:
partial upartial x =T2-T1L +sumn=1^inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2, pi nLcospi n xL,
partial^2upartial x^2 =-sumn=1^inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2, pi^2n^2L^2sinpi n xL

Passo 4

Agora derivamos em t, também termo a termo:
partial upartial t =sumn=1^inftycngl(-pi^2alpha^2n^2L^2gr) e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2sinpi n xL

Passo 5

Multiplicando partial^2u/partial x^2 por alpha^2 obtemos
alpha^2partial^2upartial x^2 =-sumn=1^inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2 pi^2alpha^2n^2L^2sinpi n xL,
que coincide com partial u/partial t. Portanto a série satisfaz exatamente
alpha^2partial^2upartial x^2=partial upartial t

Resposta

Verdadeiro.

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