É verdadeiro ou falso?
Se
e a convergência é uniforme, então
.
Se
Passo 1
O enunciado apresenta a série
e afirma que, sob convergência uniforme, essa função satisfaz a equação do calor
com as condições de contorno
O conteúdo é resolução da equação do calor por separação de variáveis e uso de convergência uniforme para diferenciar termo a termo.
Passo 2
Verificamos as condições de contorno. Para
e
temos
logo a soma some nessas fronteiras e resta apenas o termo linear:
Passo 3
Pela convergência uniforme da série de funções, podemos diferenciar termo a termo em
. Primeiro derivamos duas vezes em
:
Passo 4
Agora derivamos em
, também termo a termo:
Passo 5
Multiplicando
por
obtemos
que coincide com
. Portanto a série satisfaz exatamente
Resposta
Verdadeiro.