Resolva o problema de condução de calor não homogêneo.
alpha^2 partial^2 upartial x^2+r=partial upartial t, u(0, t)=0, u(1, t)=u0, t>0, u(x, 0)=f(x), 0<x<1, em que r, u0 in R;

Passo 1

O problema é resolver a equação de calor não homogênea
alpha^2partial^2upartial x^2 + r = partial upartial t,
com as condições de contorno
u(0,t)=0, u(1,t)=u0, t>0,
e condição inicial
u(x,0)=f(x), 0<x<1
O conteúdo chave é transformar para um problema homogêneo em x via uma solução de estado estacionário e aplicar separação de variáveis (séries de Fourier).

Passo 2

Procuramos uma solução estacionária w(x) que elimine o termo fonte r e satisfaça as condições em t. Assim, w(x) deve resolver
alpha^2w''(x)+r=0,
w(0)=0, w(1)=u0
Integrando duas vezes, obtemos
w(x)=-r2alpha^2x^2+C1x+C2
Impondo w(0)=0 C2=0, e w(1)=u0
-r2alpha^2+C1=u0 Longrightarrow C1=u0+r2alpha^2
Portanto
w(x) = -r2alpha^2,x^2 +l(u0+r2alpha^2r)x

Passo 3

Definimos a função
v(x,t)=u(x,t)-w(x)
Substituindo na equação de calor, observa-se que os termos com r se cancelam e que w não depende de t. Logo
partial vpartial t = alpha^2partial^2vpartial x^2,
com condições de contorno homogêneas
v(0,t)=0, v(1,t)=0
e condição inicial
v(x,0)=f(x)-w(x)equiv g(x)

Passo 4

Resolvemos o problema de calor homogêneo por separação de variáveis, escrevendo v como série de senos:
v(x,t) =sumn=1^inftyBn,e^-alpha^2(npi)^2t,sin(npi x)
Os coeficientes Bn vêm da expansão de g(x) em senos:
Bn =2integral0^1g(x),sin(npi x),dx =2integral0^1l[f(x)-w(x)r]sin(npi x),dx

Passo 5

Voltando a u, somamos o modo estacionário w(x) e a série v(x,t). A solução final é
u(x,t) = w(x) +sumn=1^infty l[ 2integral0^1l(f(s)-w(s)r)sin(npi s),ds r] e^-alpha^2(npi)^2t,sin(npi x)

Resposta

boxed u(x,t) = -r2alpha^2x^2 +l(u0+r2alpha^2r)x +sumn=1^infty l[ 2integral0^1l(f(s) +tfracr2alpha^2s^2 -l(u0+tfracr2alpha^2r)sr) sin(npi s),ds r] e^-alpha^2n^2pi^2t,sin(npi x)

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