Resolva o problema de condução de calor não homogêneo.
, em que
;
Passo 1
O problema é resolver a equação de calor não homogênea
com as condições de contorno
e condição inicial
O conteúdo chave é transformar para um problema homogêneo em
via uma solução de estado estacionário e aplicar separação de variáveis (séries de Fourier).
Passo 2
Procuramos uma solução estacionária
que elimine o termo fonte
e satisfaça as condições em
. Assim,
deve resolver
Integrando duas vezes, obtemos
Impondo
dá
, e
dá
Portanto
Passo 3
Definimos a função
Substituindo na equação de calor, observa-se que os termos com
se cancelam e que
não depende de
. Logo
com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
Passo 4
Resolvemos o problema de calor homogêneo por separação de variáveis, escrevendo
como série de senos:
Os coeficientes
vêm da expansão de
em senos:
Passo 5
Voltando a
, somamos o modo estacionário
e a série
. A solução final é