Use a Regra da Substituição para calcular:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos ^{2}(x) \operatorname{sen}(x) d x;

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral definida de \cos^2(x)\,\sin(x) no intervalo de x=-\frac{\pi}{2} até x=0, usando a Regra da Substituição. O conteúdo envolvido é mudança de variável em integrais, sabendo que a derivada de \cos(x) é -\sin(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos(x).
Diferenciando, obtemos
du = -\sin(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(x)\,dx = -\,du.

Passo 3

Precisamos também ajustar os limites de integração. Quando
x=-\frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad u = \cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 0,
e quando
x=0 \quad\Rightarrow\quad u = \cos(0) = 1.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos^2(x)\,\sin(x)\,dx = \int_{u=0}^{1} u^2 \bigl(-du\bigr) = -\int_{0}^{1} u^2\,du.
Agora calculamos a primitiva de u^2:
\int u^2\,du = \frac{u^3}{3}.

Passo 5

Aplicando os limites em -\int_{0}^{1}u^2\,du, obtemos
-\Bigl[\frac{u^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = -\Bigl(\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}\Bigr) = -\frac{1}{3}.

Resposta

-\frac{1}{3}

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