Use a Regra da Substituição para calcular:
\int_{0}^{1}(x+1) e^{x^{2}+2 x} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}(x+1)\,e^{x^{2}+2x}\,dx
usando a Regra da Substituição. Essa técnica consiste em escolher uma nova variável u que simplifique a integral, fazendo du aparecer de acordo com o diferencial original.

Passo 2

Observamos que a derivada de x^{2}+2x é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2x\bigr)=2(x+1).
Como no integrando temos exatamente o fator x+1, escolhemos
u = x^{2}+2x \qquad\Longrightarrow\qquad du = 2(x+1)\,dx
ou seja
(x+1)\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Agora trocamos tudo em função de u. Quando x=0,
u = 0^{2}+2\cdot0 = 0,
e quando x=1,
u = 1^{2}+2\cdot1 = 3.
Logo a integral original vira
\int_{0}^{1}(x+1)\,e^{x^{2}+2x}\,dx = \int_{u=0}^{u=3} e^{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{3}e^{u}\,du.

Passo 4

Basta agora integrar e^{u}:
\int_{0}^{3}e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{3} = e^{3}-e^{0} = e^{3}-1.
Multiplicando pelo fator \tfrac12, obtemos
\frac{1}{2}(e^{3}-1).

Resposta

\frac{e^{3}-1}{2}

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