Resolva o problema do pêndulo completo, considerando a equação diferencial ddottheta+gL sin theta=0, onde theta é o ângulo de deslocamento, g é a aceleração gravitacional e L é o comprimento do fio. Não simplifique para o caso de pequenas oscilações. Apresente a solução completa.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente quer resolver a equação diferencial do pêndulo completo, que é ddottheta + gL sin theta = 0. Aqui, theta é o ângulo que o pêndulo faz com a vertical, g é a aceleração da gravidade e L é o comprimento do fio. Pra resolver essa equação, vamos precisar usar conceitos de cálculo de equações diferenciais e energia mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação significa. A equação ddottheta + gL sin theta = 0 descreve o movimento do pêndulo. O termo ddottheta é a aceleração angular, e gL sin theta é a força restauradora que puxa o pêndulo de volta para a posição de equilíbrio.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, vamos usar o método da conservação de energia. A energia total do pêndulo é a soma da energia cinética e da energia potencial. A energia cinética Ec é 12 L^2 dottheta^2 e a energia potencial Ep é gL (1 - cos theta). Então, temos:
E = 12 L^2 dottheta^2 + gL (1 - cos theta)
Como a energia é conservada, ela permanece constante. Vamos igualar isso a uma constante C:
12 L^2 dottheta^2 + gL (1 - cos theta) = C

Passo 4

Nosso próximo passo é isolar dottheta. Primeiro, subtraímos gL (1 - cos theta) de ambos os lados:
12 L^2 dottheta^2 = C - gL (1 - cos theta)
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por L^2, temos:
dottheta^2 = 2CL^2 - 2gL^3 (1 - cos theta)
Agora, tiramos a raiz quadrada:
dottheta = raiz2CL^2 - 2gL^3 (1 - cos theta)

Passo 5

Para encontrar theta(t), precisamos separar as variáveis e integrar. Rearranjando a equação:
dthetaraiz2CL^2 - 2gL^3 (1 - cos theta) = dt
Integrando ambos os lados:
integral dthetaraiz2CL^2 - 2gL^3 (1 - cos theta) = integral dt
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares. Ela é expressa em termos de funções elípticas, que são usadas para resolver integrais desse tipo.

Resposta

A solução geral do movimento do pêndulo completo é dada implicitamente pela integral:
t - t0 = integral dthetaraiz2CL^2 - 2gL^3 (1 - cos theta)
Essa integral pode ser expressa em termos das funções elípticas de primeira espécie.

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