Resolva o problema do pêndulo completo, considerando a equação diferencial
, onde
é o ângulo de deslocamento,
é a aceleração gravitacional e
é o comprimento do fio. Não simplifique para o caso de pequenas oscilações. Apresente a solução completa.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente quer resolver a equação diferencial do pêndulo completo, que é
. Aqui,
é o ângulo que o pêndulo faz com a vertical,
é a aceleração da gravidade e
é o comprimento do fio. Pra resolver essa equação, vamos precisar usar conceitos de cálculo de equações diferenciais e energia mecânica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação significa. A equação
descreve o movimento do pêndulo. O termo
é a aceleração angular, e
é a força restauradora que puxa o pêndulo de volta para a posição de equilíbrio.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, vamos usar o método da conservação de energia. A energia total do pêndulo é a soma da energia cinética e da energia potencial. A energia cinética
é
e a energia potencial
é
. Então, temos:
Como a energia é conservada, ela permanece constante. Vamos igualar isso a uma constante
:
Passo 4
Nosso próximo passo é isolar
. Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por
, temos:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos separar as variáveis e integrar. Rearranjando a equação:
Integrando ambos os lados:
Essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares. Ela é expressa em termos de funções elípticas, que são usadas para resolver integrais desse tipo.
Resposta
A solução geral do movimento do pêndulo completo é dada implicitamente pela integral:
Essa integral pode ser expressa em termos das funções elípticas de primeira espécie.