Resolva o problema de valor iniciado dado: y^prime prime+2 y^prime+y=0; y(0)=1, y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = 0, y(0)=1,;y'(0)=-3
Este é um EDO linear homogêneo de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (1) montar a equação característica, (2) obter a solução geral, (3) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y=e^rx:
r^2 + 2r + 1 = 0
Resolvendo, reconhecemos que é um quadrado perfeito.

Passo 3

A equação
r^2 + 2r + 1 = (r + 1)^2 = 0
tem raiz dupla r = -1. Logo, a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-x

Passo 4

Derivando para usar a condição em y'(0):
y'(x) = ddxl[(C1 + C2 x)e^-xr] = l(C2 - (C1 + C2 x)r)e^-x = l(C2 - C1 - C2 xr)e^-x

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em x=0:
De y(0)=1 vem
y(0) = (C1 + 0)e^0 = C1 = 1
De y'(0)=-3 vem
y'(0) = (C2 - C1)e^0 = C2 - 1 = -3 Longrightarrow C2 = -2

Resposta

Substituindo C1=1 e C2=-2 na solução geral, obtemos
boxedy(x) = l(1 - 2xr)e^-x

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