Com série de potências, encontre a solução do P V I
(A resposta pode ser dada calculando os 4 primeiros termos da série e colocando …).
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
usando série de potências centrada em
x=0 . Vamos assumir
e determinar os coeficientes
an por uma relação de recorrência, aplicando depois as condições iniciais.
Passo 2
Escrevendo as derivadas em série:
Substituindo em
y''+x,y'+y=0 obtemos
Fazendo a mudança de índice
nmapsto n+2 no primeiro somatório e reindexando, leva a
Passo 3
Para
n>=1 os termos de ordem
x^n dão
Para
n=0 a mesma fórmula vale:
(2cdot1)a2+1cdot a0=0 .
Passo 4
Das condições iniciais
y(0)=a0=1 e
y'(0)=a1=2 , usamos a recorrência para calcular:
Passo 5
Assim, os quatro primeiros termos da série são