Com série de potências, encontre a solução do P V I
l y^prime prime+x y^prime+y=0 y^prime(0)=2 y(0)=1
(A resposta pode ser dada calculando os 4 primeiros termos da série e colocando …).

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + x,y' + y = 0, y(0)=1,;y'(0)=2
usando série de potências centrada em x=0. Vamos assumir
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
e determinar os coeficientes an por uma relação de recorrência, aplicando depois as condições iniciais.

Passo 2

Escrevendo as derivadas em série:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2
Substituindo em y''+x,y'+y=0 obtemos
sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2 +;xsumn=1^inftyn,an x^n-1 +;sumn=0^inftyan x^n =0
Fazendo a mudança de índice nmapsto n+2 no primeiro somatório e reindexando, leva a

Passo 3

sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n +sumn=1^inftyn,anx^n +sumn=0^inftyanx^n =0
Para n>=1 os termos de ordem x^n dão
(n+2)(n+1)an+2+(n+1)an=0 Longrightarrow an+2=-ann+2
Para n=0 a mesma fórmula vale: (2cdot1)a2+1cdot a0=0.

Passo 4

Das condições iniciais y(0)=a0=1 e y'(0)=a1=2, usamos a recorrência para calcular:
a2=-a02=-12, a3=-a13=-23, a4=-a24=+18, a5=-a35=+215, ;dots

Passo 5

Assim, os quatro primeiros termos da série são
y(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+dots =1+2x-tfrac12x^2-tfrac23x^3+dots

Resposta

y(x)=1+2x-tfrac12x^2-tfrac23x^3+dots

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