Sobre a série de Taylor de e^x^2 centrada em 0, calcule o intervalo de convergência;

Passo 1

Resumo rápido: o problema pede o intervalo de convergência da série de Taylor centrada em 0 para a função e^x^2. O conteúdo principal é séries de potências e vamos precisar do teste da razão para séries.

Passo 2

A série de Taylor de e^x^2 em torno de 0 expande-se em séries de potências assim: e^x^2=sumn=0^infty(x^2)^nn!=sumn=0^inftyuncom un=x^2nn!

Passo 3

Agora, para decidir onde essa série converge, usamos o teste da razão, que diz: se L=limntoinfty|un+1/un|<1, a série converge; se L>1, diverge; e se L=1, é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o teste da razão:
L=limntoinfty|un+1un|=limntoinfty|x|^2(n+1)/(n+1)!|x|^2n/n!=limntoinfty|x|^2n+1=0
Como L=0<1 para todo x, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 5

Concluindo: o raio de convergência é R=infty e, portanto, o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

(-\infty,\infty)

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