resolva o problema de valor inicial.
(e^t y+t e^t y) d t+(t e^t+2) d y=0 ,
y(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
l(e^ty + t e^tyr),dt + l(t e^t + 2r),dy = 0, y(0) = -1
O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial Phi(t,y).

Passo 2

Escrevemos
M(t,y) = y e^t(1+t), N(t,y) = t e^t + 2
Calculamos
partial Mpartial y = e^t(1+t), partial Npartial t = e^t + t e^t = e^t(1+t)
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Phi(t,y) tal que
partialtPhi = M e partialyPhi = N. Integramos M em t:
Phi(t,y) = integral y e^t(1+t),dt = yintegral (1+t)e^t,dt = yl(te^tr) + h(y)
Então
partialPhipartial y = te^t + h'(y) overset!= N = te^t + 2 Longrightarrow h'(y)=2,
logo h(y)=2y. Assim
Phi(t,y) = yl(te^t + 2r) = C

Passo 4

Usamos y(0)=-1 em Phi(0,y):
Phi(0,-1) = -1l(0cdot e^0 + 2r) = -2 = C
Logo a solução implícita é
y,(t e^t + 2) = -2,
e isolando y:
y(t) = -2t e^t + 2

Resposta

y(t) = -2t e^t + 2

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