resolva o problema de valor inicial.
(e^t x+1) d t+(e^t-1) d x=0 ,
x(1)=1

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
l(e^tx+1r),dt+l(e^t-1r),dx=0,
com condição inicial x(1)=1. O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais exatas: verificar a exatidão e, em caso positivo, encontrar uma função potencial Psi(t,x).

Passo 2

Verificamos se a forma M(t,x),dt+N(t,x),dx=0 é exata, onde
M(t,x)=e^tx+1, N(t,x)=e^t-1
Calculamos
partial Mpartial x = e^t, partial Npartial t = e^t
Como partial M/partial x = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(t,x) tal que
partial Psipartial t = M(t,x) e partial Psipartial x = N(t,x)
Integrando M em t:
Psi(t,x) = integrall(e^tx+1r),dt = x e^t + t + h(x),
onde h(x) é função a determinar. Então
partial Psipartial x = e^t + h'(x) stackrel!= e^t-1 ;Longrightarrow; h'(x)=-1 ;Longrightarrow; h(x)=-x + C
Desprezando a constante C na definição de Psi, temos a solução implícita
Psi(t,x)=x e^t+t-x = constante

Passo 4

Usamos a condição inicial x(1)=1. Substituindo em
x e^t+t-x = C
com t=1, x=1:
1cdot e^1 + 1 - 1 = C ;Longrightarrow; C=e
Logo a solução implícita é
x e^t + t - x = e

Passo 5

Isolando x em função de t:
xl(e^t-1r) = e - t Longrightarrow x(t) = e - te^t-1

Resposta

x(t) = e - te^t-1

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