Resolva o problema de valor inicial.
y^prime=y^2, y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = y^2, y(0)=1
O conteúdo é EDO de primeira ordem separável e vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Para separar as variáveis, escrevemos
dydx = y^2
e dividimos ambos os lados por y^2 (supondo yneq 0), obtendo
1y^2,dy = dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral 1y^2,dy = integral dx
No lado esquerdo, como 1y^2 = y^-2, temos
integral y^-2,dy = -,y^-1 + C1,
e no lado direito
integral dx = x + C2
Reunindo constantes em uma só, escrevemos
-,1y = x + C

Passo 4

Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em
-,1y = x + C
vem
-,11 = 0 + C Longrightarrow C = -1

Passo 5

Substituindo C=-1 na expressão geral, obtemos
-,1y = x - 1 Longrightarrow 1y = 1 - x Longrightarrow y = 11 - x
Esse é o único potencial e válido até o ponto em que o denominador não zere ( xneq1).

Resposta

y(x) = 11 - x

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