Resolva o problema de valor inicial.
y y^prime=x^2, y(0)=2

Passo 1

O problema é uma EDO de variáveis separáveis dada por y,y'=x^2 com condição inicial y(0)=2. Vamos separar as variáveis e integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo y,dydx=x^2, ou seja,
y,dy = x^2,dx

Passo 3

Agora integre ambos os lados:
integral y,dy = integral x^2,dx

Passo 4

Isso resulta em
12y^2 = 13x^3 + C

Passo 5

Use a condição inicial y(0)=2 para achar a constante C:
12cdot2^2 = C Rightarrow C = 2

Passo 6

Substituindo C=2 e multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
y^2 = 23x^3 + 4

Passo 7

Logo, a solução geral é y=pmraiztfrac23x^3+4. Como y(0)=2>0, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

y(x)=raiz4+tfrac23x^3

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