Use o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral das EDOs.
x^2 y^2 y^prime=1+x^2

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x^2y^2,y' = 1 + x^2
e pede a solução geral pelo método de separação de variáveis. Vamos usar que y' = dydx e isolar todos os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Reescrevendo a derivada, temos
dydx = 1 + x^2x^2y^2 = 1x^2y^2 + x^2x^2y^2 = 1x^2y^2 + 1y^2
Multiplicando ambos os lados por y^2,dx, obtemos a separação
y^2,dy = l(x^-2 + 1r),dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral y^2,dy = integral l(x^-2+1r),dx
No lado esquerdo
integral y^2,dy = y^33,
e no direito
integral x^-2,dx + integral 1,dx = -,1x + x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando as integrais, fica
y^33 = -1x + x + C
Multiplicando por 3 e reescrevendo a constante, definimos K = 3C e obtemos
y^3 = -3x + 3x + K
Logo, a solução geral pode ser escrita em forma explícita como
y = l(3x - tfrac3x + Kr)^!1/3

Resposta

A solução geral da EDO é
y^3 = -3x + 3x + C ou y = l(3x - tfrac3x + Cr)^1/3,
onde C é a constante de integração.

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