Resolva o problema de valor inicial.
y^prime=x^2y(1+x^3), y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'=x^2yl(1+x^3r), y(0)=1
O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis. Para resolver, vamos separar os termos em y de um lado e em x do outro e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y e por dx:
y,dy = x^21+x^3,dx
Agora integramos os dois lados.

Passo 3

Calcule as integrais de cada lado:
  • No lado esquerdo,
integral y,dy = y^22
  • No lado direito, faça a substituição u = 1 + x^3, então du = 3x^2,dx e x^2,dx = du3. Logo,
integral x^21+x^3,dx = integral 1u,du3 = 13lnl|ur| = 13lnl(1+x^3r)
Então a solução geral implícita é
y^22 = 13lnl(1+x^3r) + C

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1 para achar C. Em x=0,
1^22 = 13ln(1+0^3) + C Longrightarrow 12 = 0 + C Longrightarrow C = 12
Substituindo C na solução implícita,
y^22 = 13lnl(1+x^3r) + 12

Passo 5

Multiplique por 2 e isole y:
y^2 = 23lnl(1+x^3r) + 1,
y = pmraiz1 + tfrac23lnl(1+x^3r)
Como y(0)=1>0, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

y(x) = raiz1 + 23lnl(1+x^3r)

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