Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Aplique o Teste da Série Alternada quando possível: se os termos bn são positivos, decrescentes e tendem a zero, então sum(-1)^n+1 bn converge. Em outros casos, considere também o Teste para a Divergência.)
sumn=1^infty(-1)^n raizn1+2 raizn

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty(-1)^n,raizn1+2raizn
é convergente ou divergente. O que vamos usar é, primeiramente, o Teste para a Divergência (se os termos não tendem a zero, a série diverge) e, em segundo lugar, o Teste da Série Alternada (que exige termos positivos, decrescentes e tendendo a zero).

Passo 2

Chamemos de
an = (-1)^n,raizn1+2raizn e bn = raizn1+2raizn,
Para aplicar o Teste para a Divergência, calculamos
limntoinftybn =limntoinftyraizn1+2raizn =limntoinfty11raizn+2 =10+2 =12

Passo 3

Como limntoinftybn=tfrac12neq0, segue que
limntoinftyan
também não é zero (os an oscilam entre pm bn com bntotfrac12). Pelo Teste para a Divergência, se os termos gerais de uma série não tendem a zero, a série diverge imediatamente, sem precisar checar decrescimento.

Resposta

A série diverge.

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