Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Aplique o Teste da Série Alternada quando possível: se os termos bn são positivos, decrescentes e tendem a zero, então sum(-1)^n+1 bn converge. Em outros casos, considere também o Teste para a Divergência.)
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+4
é convergente ou divergente. Vamos usar o Teste da Série Alternada (ou de Leibniz) e, em seguida, verificar a convergência absoluta recorrendo ao Teste da Comparação/Limite.

Passo 2

Identificamos bn=n^2n^3+4. Primeiro, verificamos limntoinftybn:
limntoinftyn^2n^3+4 =limntoinfty1n+tfrac4n^2 =0
Como esse limite é zero, satisfaz uma das condições do Teste da Série Alternada.

Passo 3

Checamos se bn é eventualmente decrescente. Definimos a função contínua
f(x)=x^2x^3+4
e calculamos sua derivada:
f'(x) =2x(x^3+4)-x^2cdot3x^2(x^3+4)^2 =-x^4+8x(x^3+4)^2
Para x>=3, temos -x^4+8x<0, logo f'(x)<0. Assim, bn é decrescente para n>=3. Sendo decrescente a partir de certo N e tendendo a zero, todas as hipóteses do Teste de Leibniz se cumprem, implicando que a série original converge.

Passo 4

Verificamos agora a convergência absoluta, estudando
sumn=1^inftyl|(-1)^n+1tfracn^2n^3+4r| =sumn=1^inftyn^2n^3+4
Para grandes n, tfracn^2n^3+4simtfrac1n. Aplicando o Teste da Comparação Limite com sum1/n,
limntoinftytfracn^2n^3+41/n =limntoinftyn^3n^3+4 =1(neq0, neqinfty),
e como sum1/n diverge, segue que sum n^2/(n^3+4) também diverge. Portanto, a série não converge absolutamente.

Resposta

A série converge, mas não converge absolutamente. Ou seja, ocorre convergência condicional.

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