Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Aplique o Teste da Série Alternada quando possível: se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero, então converge. Em outros casos, considere também o Teste para a Divergência.)
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Vamos usar o Teste da Série Alternada (ou de Leibniz) e, em seguida, verificar a convergência absoluta recorrendo ao Teste da Comparação/Limite.
Passo 2
Identificamos . Primeiro, verificamos :
Como esse limite é zero, satisfaz uma das condições do Teste da Série Alternada.
Passo 3
Checamos se é eventualmente decrescente. Definimos a função contínua
e calculamos sua derivada:
Para , temos , logo . Assim, é decrescente para . Sendo decrescente a partir de certo e tendendo a zero, todas as hipóteses do Teste de Leibniz se cumprem, implicando que a série original converge.
Passo 4
Verificamos agora a convergência absoluta, estudando
Para grandes n, tfracn^2n^3+4simtfrac1n. Aplicando o Teste da Comparação Limite com sum1/n,