Resolva as seguintes equações diferenciais lineares não-homogêneas a y^prime prime+b y^prime+c y=0.
y^prime+(1x) y=3 cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 1x,y = 3cos 2x,
onde queremos encontrar a solução geral y(x). Vamos usar o método do fator integrante para EDs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de y na forma padrão y' + P(x),y = Q(x), com
P(x)=1x, Q(x)=3cos 2x
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 1x,dxr) = x

Passo 3

Multiplicando toda a equação por mu(x)=x, obtemos
x,y' + y = 3xcos 2x
O lado esquerdo é justamente a derivada de x,y, isto é,
ddxl(x,yr) = 3xcos 2x

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x, temos
x,y = integral 3xcos 2x ,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para calcular integral 3xcos 2x,dx, fazemos integração por partes escolhendo
u = x, dv = cos 2x,dx ;Longrightarrow; du = dx, v = tfrac12sin 2x
Então
integral xcos 2x,dx = xcdot tfrac12sin 2x - integral tfrac12sin 2x,dx = tfracx2sin 2x + tfrac14cos 2x
Multiplicando por 3,
integral 3xcos 2x,dx = 3x2sin 2x + 34cos 2x

Passo 6

Substituindo na expressão de x,y, obtemos
x,y = 3x2sin 2x + 34cos 2x + C
e, finalmente, isolando y,
y(x) = 32sin 2x + 34xcos 2x + Cx

Resposta

boxedy(x) = 32sin 2x + 34xcos 2x + Cx, xneq0

Exercícios relacionados