Resolva o problema de valor inicial.
g) y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, \t y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - y = 2x e^{2x}
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo é ODE linear e vamos usar fator integrante para encontrar a solução geral e depois ajustar pela condição inicial.

Passo 2

Escrevemos em forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x)
onde p(x)=-1 e q(x)=2x e^{2x}. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{-x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x), obtendo
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2x e^{2x} \,e^{-x} = 2x e^{x}.
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada de produto:
\frac{d}{dx}\bigl(y e^{-x}\bigr) = 2x e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y e^{-x} = \int 2x e^{x}\,dx + C = 2(x-1)e^{x} + C.

Passo 5

Multiplicamos por e^{x} para isolar y:
y = 2(x-1)e^{2x} + C\,e^{x}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=1:
1 = 2(0-1)e^{0} + C\,e^{0} = -2 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 3.

Resposta

y(x) = 2(x-1)e^{2x} + 3e^{x}.

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