Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais
e
e equação diferencial
Passo 1
O exercício pede pra resolver o PVI com y(0)=a, y’(0)=b e a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. Vamos precisar achar a solução geral da parte homogênea, depois uma solução particular pro termo
e pro termo constante, e por fim ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é dada por
. A equação característica é
, cujas raízes são
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para o termo não-homogêneo
, como o operador
não anula
(exceto se
, caso especial), adotamos o ansatz
Calculando
e igualando a
obtemos o sistema
Assumindo
, segue
Portanto
Passo 4
Para o termo constante
, basta notar que se
então
ou seja
é uma solução particular.
Passo 5
A solução geral é
Agora usamos as condições iniciais. Em
Chamando
temos o sistema
Resolvendo por regra de Cramer,
Passo 6
Pronto! Inserindo
e
acima a função
fica completamente determinada e satisfaz
,
e a EDO dada.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
onde