Resolva o problema de valor inicial com condições iniciais y(0)=a e y^prime(0)=b e equação diferencial
y^prime prime-a y^prime+y=t e^t+b

Passo 1

O exercício pede pra resolver o PVI com y(0)=a, y’(0)=b e a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo t e^t + b. Vamos precisar achar a solução geral da parte homogênea, depois uma solução particular pro termo t e^t e pro termo constante, e por fim ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é dada por y'' - a y' + y = 0. A equação característica é r^2 - a r + 1 = 0, cujas raízes são
r1,2 = a pm raiza^2 - 42
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t

Passo 3

Para o termo não-homogêneo t e^t, como o operador L[y]=y''-a y'+y não anula e^t (exceto se a=2, caso especial), adotamos o ansatz
yp1(t) = (C t + D)e^t
Calculando L[yp1] e igualando a t e^t obtemos o sistema
C(2 - a) = 1,
(C + D)(2 - a) = 0
Assumindo a neq 2, segue
C = 12 - a, D = -12 - a
Portanto
yp1(t) = t - 12 - a ;e^t

Passo 4

Para o termo constante b, basta notar que se yp2=b então
L[b] = 0 - 0 + b = b,
ou seja yp2(t)=b é uma solução particular.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t + t - 12 - a e^t + b
Agora usamos as condições iniciais. Em t=0
y(0)=C1 + C2 -12 - a + b = a,
y'(0)=C1 r1 + C2 r2 + 0 = b
Chamando
A = a + 12 - a - b,
temos o sistema
C1 + C2 = A, C1 r1 + C2 r2 = b
Resolvendo por regra de Cramer,
C1 = b - A r2r1 - r2, C2 = A r1 - br1 - r2

Passo 6

Pronto! Inserindo C1 e C2 acima a função y(t) fica completamente determinada e satisfaz y(0)=a, y'(0)=b e a EDO dada.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = b - A r2r1 - r2 e^r1 t + A r1 - br1 - r2 e^r2 t + t - 12 - a e^t + b,
onde
r1,2 = a pm raiza^2 - 42, A = a + 12 - a - b

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