Resolva o problema de valor inicial.
a) y^{\prime}=x^{3}-2 x y, \t y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y' = x^3 - 2 x y,\quad y(0)=0.
Este é uma equação diferencial linear de primeira ordem; vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y' + 2x\,y = x^3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int 2x\,dx\Bigr) = e^{x^2}.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{x^2}y' + 2x\,e^{x^2}y = x^3 e^{x^2}.
O lado esquerdo é \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^2}\bigr), logo
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^2}\bigr) = x^3 e^{x^2}.
Integramos ambos os lados:
y\,e^{x^2} = \int x^3 e^{x^2}\,dx + C.

Passo 5

Para calcular \int x^3 e^{x^2}\,dx fazemos u = x^2, du = 2x\,dx. Então
\int x^3 e^{x^2}\,dx = \frac12\int u\,e^{u}\,du = \frac12\bigl(u e^{u} - e^{u}\bigr) + C = \frac12\bigl(x^2 e^{x^2} - e^{x^2}\bigr) + C.
Portanto
y\,e^{x^2} = \frac12\bigl(x^2 e^{x^2} - e^{x^2}\bigr) + C \quad\Longrightarrow\quad y = \frac12(x^2 - 1) + C\,e^{-x^2}.

Passo 6

Impondo y(0)=0
0 = \tfrac12(0-1) + C \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac12.

Resposta

y(x) = \frac12\bigl(x^2 - 1 + e^{-x^2}\bigr).

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