Resolva o problema de valor inicial dado.
13. (x+y e^y / x) d x-x e^y / x d y=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(x + y,e^y/xr),dx ;-; x,e^y/x,dy = 0
com condição inicial y(1)=0. Trata-se de uma equação de primeira ordem em forma diferencial. Vamos primeiro passar para a forma dy/dx.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y),dx + N(x,y),dy=0
onde M=x + y,e^y/x e N=-x,e^y/x, temos
dydx = -MN = -x + y,e^y/x-x,e^y/x = x + y,e^y/xx,e^y/x = xx,e^y/x + y,e^y/xx,e^y/x = e^-,tfracyx + yx
Portanto
dydx = yx + e^-,yx

Passo 3

Observamos que o lado direito depende só da razão y/x. Fazemos a substituição de variável
v = yx Longrightarrow y = v,x e dydx = v + xdvdx
Substituindo em dydx = v + e^-v resulta
v + xdvdx = v + e^-v Longrightarrow xdvdx = e^-v

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
integral e^v,dv = integral dxx Longrightarrow e^v = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Voltando a v=y/x e aplicando y(1)=0 (ou seja, em x=1, v=0), temos
e^0 = 1 = ln1 + C = 0 + C Longrightarrow C = 1
Logo
e^,yx = lnlvert xrvert + 1

Passo 6

Como a condição inicial está em x=1>0, podemos tirar valor absoluto e escrever
yx = lnl(1 + ln xr) Longrightarrow y(x) = x,lnl(1 + ln xr)

Resposta

y(x) = x,lnl(1 + ln xr)

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