Resolva os PVI’s (miscelânia).
l(x^2+y^2) d x+2 x y d y=0 y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
(x^2+y^2),dx + 2xy,dy = 0, y(1)=1
Este é um caso de equação diferencial exata; vamos verificar a exatidão e, depois, encontrar a solução implícita e usar a condição inicial.

Passo 2

Defina
M(x,y)=x^2+y^2, N(x,y)=2xy
Calculamos
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=2y,
logo partial M/partial y=partial N/partial x e a equação é exata. Logo existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M, partial phipartial y=N

Passo 3

Integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral (x^2+y^2),dx =x^33+x,y^2+h(y)
Para determinar h(y), usamos
partial phipartial y =2xy + h'(y) stackrel!=N=2xy ;Longrightarrow;h'(y)=0 ;Longrightarrow;h(y)=const
Portanto a solução implícita é
x^33+x,y^2=C

Passo 4

Usamos y(1)=1 para achar C:
1^33+1cdot1^2=13+1=43 ;Longrightarrow; C=43
Assim
x^33+x,y^2=43 Longrightarrow x^3+3x,y^2=4 Longrightarrow y^2=4-x^33x
Como y(1)=1>0, escolhemos o ramo positivo:
y(x)=raiz4 - x^33x

Resposta

y(x)=raiz4 - x^33x, y(1)=1

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