Seja
sujeita à condição
.
Encontre o máximo e o mínimo de f.
Passo 1
A questão pede para otimizar a função
sob a restrição
. O conteúdo principal é otimização com multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar aplicar essa técnica e depois verificar o comportamento da função para decidir máximos e mínimos.
Passo 2
Vamos montar o Lagrangiano. Seja
Passo 3
Passo 4
As condições de otimalidade vêm de zerar as derivadas parciais:
Passo 5
Passo 6
Passo 7
Passo 8
Do primeiro e segundo itens temos
Passo 9
Passo 10
Juntando com a restrição
, se
então
e chegam-se aos pontos
e
. A outra opção
não satisfaz
em
.
Passo 11
Agora avaliamos
nos candidatos:
Passo 12
Passo 13
Para ver que não há máximo, note que podemos escrever
e ficar com
Passo 14
Passo 15
Quando
ou
, o termo
ou
cresce sem limite, então
.
Resposta
O valor mínimo de
sob a restrição
é
, atingido em
e
. Não existe valor máximo, pois
quando nos afastamos desses pontos.