Seja f(x, y)=2 x^2+2 y^2 sujeita à condição x y=1.
Encontre o máximo e o mínimo de f.

Passo 1

A questão pede para otimizar a função f(x,y)=2x^2+2y^2 sob a restrição xy=1. O conteúdo principal é otimização com multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar aplicar essa técnica e depois verificar o comportamento da função para decidir máximos e mínimos.

Passo 2

Vamos montar o Lagrangiano. Seja

Passo 3

L(x,y,lambda)=2x^2+2y^2-lambda,(xy-1)

Passo 4

As condições de otimalidade vêm de zerar as derivadas parciais:

Passo 5

partialLpartial x=4x-lambda y=0,

Passo 6

partialLpartial y=4y-lambda x=0,

Passo 7

partialLpartiallambda=-(xy-1)=0

Passo 8

Do primeiro e segundo itens temos

Passo 9

4x=lambda y, 4y=lambda x Longrightarrow 4x^2=4y^2 Longrightarrow y^2=x^2

Passo 10

Juntando com a restrição xy=1, se y=x então x^2=1 e chegam-se aos pontos (1,1) e (-1,-1). A outra opção y=-x não satisfaz xy=1 em Bbb R.

Passo 11

Agora avaliamos f nos candidatos:

Passo 12

f(1,1)=2+2=4, f(-1,-1)=2+2=4

Passo 13

Para ver que não há máximo, note que podemos escrever y=1/x e ficar com

Passo 14

f(x)=2x^2+2x^-2

Passo 15

Quando xto0 ou xtopminfty, o termo 2x^-2 ou 2x^2 cresce sem limite, então f(x)to+infty.

Resposta

O valor mínimo de f sob a restrição xy=1 é 4, atingido em (1,1) e (-1,-1). Não existe valor máximo, pois fto+infty quando nos afastamos desses pontos.

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