Resolva o problema de valor inicial dado.
(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x+2 y+2}, \quad y(-1)=-1)
(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x+2 y+2}, \quad y(-1)=-1)
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
O conteúdo envolvido é EDO de 1ª ordem, separável após uma mudança de variável.
Passo 2
Definimos
Então
Passo 3
Como a equação em
é separável, escrevemos
e vamos integrar ambos os lados.
Passo 4
Para calcular
fazemos a decomposição
logo
Do outro lado
. Reunindo constantes (
) obtemos
Passo 5
Usamos a condição
,
para achar
. Nesse ponto
, então
deve ser igual a
. Logo
Passo 6
Substituindo
e
na expressão geral:
Multiplicando por 25, obtemos a forma implícita final:
Resposta
A solução implícita do problema de valor inicial é