Resolva o problema de valor inicial dado.
(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x+2 y}{3 x+2 y+2}, \quad y(-1)=-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx = 3x + 2y3x + 2y + 2, y(-1) = -1
O conteúdo envolvido é EDO de 1ª ordem, separável após uma mudança de variável.

Passo 2

Definimos
u = 3x + 2y
Então
dudx = 3 + 2dydx = 3 + 2cdotuu+2 = 3(u+2) + 2uu+2 = 5u + 6u+2

Passo 3

Como a equação em u é separável, escrevemos
dudx = 5u + 6u+2 Longrightarrow u+25u+6,du = dx
e vamos integrar ambos os lados.

Passo 4

Para calcular
integral u+25u+6,du
fazemos a decomposição
u+25u+6 = 15 + 4/55u+6,
logo
integral u+25u+6,du = integral!l(tfrac15 + tfrac4/55u+6r)du = u5 + 425lnlvert5u+6rvert + C1
Do outro lado integral dx = x + C2. Reunindo constantes ( C = C2 - C1) obtemos
u5 + 425lnlvert5u+6rvert = x + C

Passo 5

Usamos a condição x=-1, y=-1 para achar C. Nesse ponto u = 3(-1)+2(-1)=-5, então
-55 + 425lnlvert5(-5)+6rvert = -1 + 425ln19
deve ser igual a -1 + C. Logo
C = 425ln19

Passo 6

Substituindo u=3x+2y e C na expressão geral:
3x+2y5 + 425lnllvert15x+10y+6rrvert = x + 425ln19
Multiplicando por 25, obtemos a forma implícita final:
5(3x+2y) + 4lnllvert15x+10y+6rrvert = 25x + 4ln19

Resposta

A solução implícita do problema de valor inicial é
5(3x+2y) + 4lnllvert15x+10y+6rrvert = 25x + 4ln19

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