Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
y \frac{d x}{d y}-x=2 y^{2}, y(1)=5

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y\frac{dx}{dy}-x=2y^{2}
e a condição inicial escrita como y(1)=5. Como a equação envolve \frac{dx}{dy}, interpretamos a condição inicial de forma compatível com o problema: a condição é x(1)=5. Dados relevantes:
  • A incógnita que queremos é x como função de y.
  • A equação é dada em termos de y como variável independente.
  • A condição inicial é x(1)=5.
  • Note que a equação tem um fator y multiplicando \frac{dx}{dy}, então teremos que evitar y=0 ao dividir pela variável.

Passo 2

Colocamos a equação na forma linear padrão para uma equação de primeira ordem em x(y). Dividindo ambos os lados por y (válido enquanto y\neq 0) obtemos:
\frac{dx}{dy}-\frac{1}{y}x=2y.
Explicação didática: uma equação linear de primeira ordem tem formato
\frac{dx}{dy}+p(y)x=q(y),
onde p(y) e q(y) são funções conhecidas. Aqui temos p(y)=-\dfrac{1}{y} e q(y)=2y.

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante. Regra: para
\frac{dx}{dy}+p(y)x=q(y),
o fator integrante é \mu(y)=e^{\int p(y)\,dy}. Aqui
p(y)=-\frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad \int p(y)\,dy=\int -\frac{1}{y}\,dy=-\ln|y|.
Logo
\mu(y)=e^{-\ln|y|}=\frac{1}{|y|}.
Como a condição inicial tem y=1>0, trabalhamos no intervalo onde y>0 e então podemos tomar \mu(y)=\dfrac{1}{y}. (Comentário rápido: o módulo aparece pela integral do 1/y; para cada intervalo onde y preserva o sinal escolhemos a forma sem módulo apropriada.)

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(y)=\dfrac{1}{y}. Fazendo isso:
\frac{1}{y}\frac{dx}{dy}-\frac{1}{y^{2}}x=2.
Observe que o lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{1}{y}x, pois
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{y}x\right)=\frac{1}{y}\frac{dx}{dy}-\frac{1}{y^{2}}x.
Portanto obtemos uma equação simples:
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{x}{y}\right)=2.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a y:
\int \frac{d}{dy}\!\left(\frac{x}{y}\right)\,dy=\int 2\,dy
o que dá
\frac{x}{y}=2y+C,
onde C é constante de integração. Isolando x:
x=2y^{2}+Cy.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial x(1)=5:
5=2\cdot 1^{2}+C\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C=5-2=3.
Então a solução particular que satisfaz a condição inicial é
x(y)=2y^{2}+3y.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar): calcule \dfrac{dx}{dy}=4y+3. Então
y\frac{dx}{dy}-x=y(4y+3)-(2y^{2}+3y)=4y^{2}+3y-2y^{2}-3y=2y^{2},
confirma que a solução satisfaz a equação original para y\neq 0.

Passo 8

Determinação do maior intervalo I onde a solução está definida: durante a resolução dividimos por y, então a solução não pode cruzar y=0. A condição inicial está em y=1 (positivo), portanto o maior intervalo aberto que contém 1 e não contém 0 é (0,\infty). Nesse intervalo a solução é válida e única.

Resposta

x(y)=2y^{2}+3y\n (0,\infty)

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