Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e a condição inicial escrita como
. Como a equação envolve
, interpretamos a condição inicial de forma compatível com o problema: a condição é
. Dados relevantes:
- A incógnita que queremos é
como função de . - A equação é dada em termos de
como variável independente. - A condição inicial é
. - Note que a equação tem um fator
multiplicando , então teremos que evitar ao dividir pela variável.
Passo 2
Colocamos a equação na forma linear padrão para uma equação de primeira ordem em
. Dividindo ambos os lados por
(válido enquanto
) obtemos:
Explicação didática: uma equação linear de primeira ordem tem formato
onde
e
são funções conhecidas. Aqui temos
e
.
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante. Regra: para
o fator integrante é
. Aqui
Logo
Como a condição inicial tem
, trabalhamos no intervalo onde
e então podemos tomar
. (Comentário rápido: o módulo aparece pela integral do
; para cada intervalo onde
preserva o sinal escolhemos a forma sem módulo apropriada.)
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. Fazendo isso:
Observe que o lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Portanto obtemos uma equação simples:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
o que dá
onde
é constante de integração. Isolando
:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Então a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom checar): calcule
. Então
confirma que a solução satisfaz a equação original para
.
Passo 8
Determinação do maior intervalo
onde a solução está definida: durante a resolução dividimos por
, então a solução não pode cruzar
. A condição inicial está em
(positivo), portanto o maior intervalo aberto que contém
e não contém
é
. Nesse intervalo a solução é válida e única.