Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série de funções
O conteúdo aqui é estudo de séries de potências e vamos precisar do teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar os extremos
.
Passo 2
Denotando o termo geral por
aplicamos o teste da razão:
Tomando o limite quando
ntoinfty :
Passo 3
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se
Logo o raio de convergência é
R=5 , e para
|x|<5 temos convergência.
Passo 4
Testamos
x=5 . O termo geral fica
Como
l|tnr|=n^2/5notto0 , a série diverge em
x=5 .
Passo 5
Testamos
x=-5 . O termo geral fica
e novamente
l|tnr|=n^2/5notto0 , logo a série também diverge em
x=-5 .
Resposta
A série converge absolutamente se
|x|<5 e diverge para
|x|>=5 .