Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série de funções
sumn=1^infty n^2x^n-1(-5)^n
O conteúdo aqui é estudo de séries de potências e vamos precisar do teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar os extremos x=pm5.

Passo 2

Denotando o termo geral por
tn=n^2x^n-1(-5)^n,
aplicamos o teste da razão:
|tn+1tn| =|(n+1)^2x^n(-5)^n+1cdot(-5)^nn^2x^n-1| =(n+1)^2n^2;l|x5r|
Tomando o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|tn+1tn| =limntoinfty(n+1)^2n^2;l|x5r| =1cdot|x|5 =|x|5

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se
|x|5<1 Longrightarrow |x|<5
Logo o raio de convergência é R=5, e para |x|<5 temos convergência.

Passo 4

Testamos x=5. O termo geral fica
tn=n^2,5^n-1(-5)^n =n^2(-1)^n,5 =l(!-!1r)^nn^25
Como l|tnr|=n^2/5notto0, a série diverge em x=5.

Passo 5

Testamos x=-5. O termo geral fica
tn=n^2,(-5)^n-1(-5)^n =n^2-5 =-n^25,
e novamente l|tnr|=n^2/5notto0, logo a série também diverge em x=-5.

Resposta

A série converge absolutamente se |x|<5 e diverge para |x|>=5.

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