Resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
\left(15\right. pontos) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0 \\\ y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime}(0)=3 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem
y''' - y'' + y' - y = 0
com condições iniciais y(0)=1, y'(0)=1, y''(0)=3, usando o método de transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
\mathcal L\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal L\{y''(t)\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)
e
\mathcal L\{y'''(t)\}(s)=s^3Y(s)-s^2y(0)-s\,y'(0)-y''(0),
onde Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}(s).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
\mathcal L\{y'''\}(s)\;-\;\mathcal L\{y''\}(s)\;+\;\mathcal L\{y'\}(s)\;-\;\mathcal L\{y\}(s)\;=\;0.
Substituindo as fórmulas, obtemos
\bigl(s^3Y - s^2y(0) - s\,y'(0) - y''(0)\bigr) -\bigl(s^2Y - s\,y(0) - y'(0)\bigr) +\bigl(sY - y(0)\bigr) - Y = 0.

Passo 3

Agora inserimos as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=1, y''(0)=3 e simplificamos:
s^3Y - (s^2 + s + 3) -\bigl(s^2Y - (s + 1)\bigr) +(sY - 1) - Y = 0
\Longrightarrow Y\,(s^3 - s^2 + s - 1)\;-\;(s^2+3)\;=\;0
\Longrightarrow Y(s)\;=\;\frac{s^2+3}{s^3 - s^2 + s - 1}.
Note que s^3 - s^2 + s - 1 = (s-1)(s^2+1).

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
\frac{s^2+3}{(s-1)(s^2+1)} =\frac{A}{s-1}+\frac{Bs + C}{s^2+1}.
Multiplicando por (s-1)(s^2+1) e comparando coeficientes, chegamos a
A=2,\quad B=-1,\quad C=-1.
Logo
Y(s)=\frac{2}{s-1}\;-\;\frac{s+1}{s^2+1}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{2}{s-1}\Bigr\}(t)=2e^t, \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{s}{s^2+1}\Bigr\}(t)=\cos t, \quad \mathcal L^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1}{s^2+1}\Bigr\}(t)=\sin t.
Então
y(t)=2e^t \;-\;\cos t\;-\;\sin t.

Passo 6

Verificamos rapidamente as condições iniciais:
y(0)=2-1-0=1,
y'(t)=2e^t+\sin t -\cos t\Rightarrow y'(0)=2+0-1=1,
y''(t)=2e^t+\cos t+\sin t\Rightarrow y''(0)=2+1+0=3.
Tudo confere.

Resposta

y(t)=2e^t-\cos t-\sin t.

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