Verifique se a seguinte série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-2 n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar a convergência da série numérica
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-2n^{2}}.
Como todos os termos são positivos, vamos usar o teste da raiz, que consiste em calcular
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n},
onde a_n=\bigl((n+1)/n\bigr)^{-2n^2}. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Calculemos a raiz enésima de a_n:
\sqrt[n]{a_n} =\left[\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-2n^{2}}\right]^{1/n} =\left(\frac{n+1}{n}\right)^{-2n} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}.

Passo 3

Agora determinamos o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} =\lim_{n\to\infty}\bigl[(1+1/n)^{n}\bigr]^{-2} =e^{-2}.
Como e^{-2}<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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