Utilizando o teste da comparação, verifique se a série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n+1}}{3^{n}-2}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n+1}}{3^{n}-2}
e pede para determinar convergência usando o teste da comparação.
O teste da comparação para séries de termos não negativos afirma que, se temos duas sequências (a_n) e (b_n) tais que 0 \le b_n \le a_n para todo n e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge.

Passo 2

Para aplicar esse teste note que, para todo n\ge1,
3^n - 2 < 3^n
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\frac{1}{3^n - 2} > \frac{1}{3^n}.
Multiplicando por 4^{n+1}, obtemos
a_n = \frac{4^{n+1}}{3^n - 2} > \frac{4^{n+1}}{3^n} = 4 \cdot \Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^n.
A série
\sum_{n=1}^{\infty} 4 \cdot \Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^n
é uma série geométrica com razão \tfrac{4}{3}>1, portanto diverge.

Passo 3

Como a_n \ge 4\,(4/3)^n e a série comparativa \sum 4\,(4/3)^n diverge, o teste da comparação garante que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n+1}}{3^n - 2}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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