Use a substituição x=e^{t} para transformar a equação de Cauchy-Euler dada em uma equação com coeficientes cosntantes e resolva.
x^{2} y^{\prime \prime}-9 x y^{\prime}+25 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação de Cauchy–Euler
x^{2}y''-9x\,y'+25y=0
e pede que usemos a substituição x=e^{t} (ou seja, t=\ln x) para transformá-la numa equação de coeficientes constantes e então resolvê-la.

Passo 2

Defina Y(t)=y(x) com x=e^{t}. Como
\frac{dt}{dx}=\frac1x,
temos
y'(x)=\frac{dY}{dt}\,\frac{dt}{dx}=\frac{Y'(t)}{x}.
Para y''(x), derivamos mais uma vez em relação a x:
y''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{Y'(t)}{x}\Bigr) =\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{Y'}{x}\Bigr)\frac{dt}{dx} =\frac{1}{x}\Bigl(\frac{Y''(t)}{x}-\frac{Y'(t)}{x}\Bigr) =\frac{Y''(t)-Y'(t)}{x^{2}}.

Passo 3

Substituindo y' e y'' na equação original, obtemos
x^{2}\,\frac{Y''-Y'}{x^{2}} -9x\,\frac{Y'}{x} +25Y=0 \quad\Longrightarrow\quad Y''-Y'-9Y'+25Y=0,
ou seja
Y''-10Y'+25Y=0.

Passo 4

Escrevemos a equação característica
r^{2}-10r+25=0
cuja raiz dupla é
r=5.
Logo a solução geral em t é
Y(t)=C_{1}e^{5t}+C_{2}\,t\,e^{5t}.

Passo 5

Voltando a x com t=\ln x, temos e^{5t}=e^{5\ln x}=x^{5} e t=\ln x. Portanto
y(x)=Y(\ln x) =C_{1}x^{5}+C_{2}\,x^{5}\ln x.

Resposta

\boxed{y(x)=C_{1}x^{5}+C_{2}\,x^{5}\ln x.}

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