Resolva o problema de valor inicial envolvendo a EDO separável:
ld yd x=2 xy+x^2 y y(0)=-2

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
A EDO é
dydx = 2xy + x^2y
e a condição inicial é y(0)=-2. O conteúdo aqui é equação diferencial separável: vamos precisar escrever a equação de modo que todas as quantidades envolvendo y fiquem de um lado e as de x do outro, e em seguida integrar.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para evidenciar a separação de variáveis. Note que
y + x^2 y = y(1 + x^2)
Logo podemos reescrever a EDO como
dydx = 2xy(1 + x^2)
Agora multiplicamos ambos os lados por y e por dx para obter
y,dy = 2x1 + x^2,dx
Esse passo usa a ideia de que em EDOs separáveis podemos escrever f(y),dy = g(x),dx e então integrar cada lado.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y,dy = integral 2x1 + x^2,dx
Na esquerda, integral y,dy = tfracy^22. Na direita, usamos a substituição u = 1 + x^2, de modo que du = 2x,dx, obtendo integral du/u = ln|u| + C. Assim
y^22 = ln(1 + x^2) + C

Passo 4

Multiplicando por 2, a solução geral implícita fica
y^2 = 2ln(1 + x^2) + C'

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(0) = -2. Substituindo x=0 e y=-2 em y^2 = 2ln(1 + x^2) + C'
(-2)^2 = 2ln(1 + 0^2) + C' Longrightarrow 4 = 0 + C' Longrightarrow C' = 4

Passo 6

Com isso, a solução implícita particular é
y^2 = 2ln(1 + x^2) + 4

Passo 7

Para escrever y explicitamente, fazemos raiz quadrada. Como y(0)=-2<0, escolhemos o ramo negativo:
y(x) = -raiz2ln(1 + x^2) + 4

Resposta

y(x) = -raiz2ln(1 + x^2) + 4

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