Resolva o problema de valor inicial envolvendo a EDO separável:
Passo 1
Temos o problema de valor inicial
A EDO é
A EDO é
e a condição inicial é
. O conteúdo aqui é equação diferencial separável: vamos precisar escrever a equação de modo que todas as quantidades envolvendo
fiquem de um lado e as de
do outro, e em seguida integrar.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador para evidenciar a separação de variáveis. Note que
Logo podemos reescrever a EDO como
Agora multiplicamos ambos os lados por
e por
para obter
Esse passo usa a ideia de que em EDOs separáveis podemos escrever
e então integrar cada lado.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Na esquerda,
. Na direita, usamos a substituição
, de modo que
, obtendo
. Assim
Passo 4
Multiplicando por 2, a solução geral implícita fica
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
dá
Passo 6
Com isso, a solução implícita particular é
Passo 7
Para escrever
explicitamente, fazemos raiz quadrada. Como
, escolhemos o ramo negativo: