Resolva o problema de valor inicial.
h) t y^{\prime}+2 y=t^{2}-t+1, \t y(1)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
t\,y'(t)+2\,y(t)=t^{2}-t+1,\quad y(1)=\tfrac12.
Este é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por t (supondo t\neq0):
y'(t)+\frac{2}{t}\,y(t)=t-1+\frac{1}{t}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int\frac{2}{t}\,dt\Bigr)=\exp\bigl(2\ln|t|\bigr)=t^{2},
considerando t>0.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por \mu(t)=t^{2} obtemos
t^{2}y'(t)+2t\,y(t)=t^{3}-t^{2}+t.
Note que o lado esquerdo é exatamente \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y(t)\bigr).

Passo 5

Integramos em relação a t:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y(t)\bigr) = t^{3}-t^{2}+t \quad\Longrightarrow\quad t^{2}y(t)=\int\bigl(t^{3}-t^{2}+t\bigr)\,dt =\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{3}}{3}+\frac{t^{2}}{2}+C.

Passo 6

Isolamos y(t) dividindo por t^{2}:
y(t) =\frac{\tfrac{t^{4}}{4}-\tfrac{t^{3}}{3}+\tfrac{t^{2}}{2}+C}{t^{2}} =\frac{t^{2}}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+C\,t^{-2}.

Passo 7

Usamos a condição inicial y(1)=\tfrac12:
y(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+C =\frac{5}{12}+C \stackrel!=\frac{1}{2}=\frac{6}{12} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{12}.

Resposta

y(t)=\frac{t^{2}}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12\,t^{2}}.

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