Resolva o Problema de valor inicial
l y^prime prime-2 y^prime+10 y=0 y(0)=-1 y^prime(0)=2

Passo 1

Primeiro, vamos escrever o enunciado e identificar o conteúdo: temos a EDO de segunda ordem
y'' - 2y' + 10y = 0
com condições iniciais y(0) = -1 e y'(0) = 2. Isso é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada a essa EDO:
r^2 - 2r + 10 = 0
Resolvendo essa equação, calculamos o discriminante e obtemos raízes complexas.

Passo 3

Calculamos as raízes:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 102 = 2 pm raiz-362 = 1 pm 3i
Como são complexas conjugadas, usamos a forma real da solução geral.

Passo 4

A forma geral da solução, para raízes r = a pm bi, é
y(t) = e^atl(Ccos(bt) + Dsin(bt)r)
Aqui a=1 e b=3, logo
y(t) = e^tl(Ccos(3t) + Dsin(3t)r)

Passo 5

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y'(t). Derivando,
y'(t) = e^t(Ccos(3t) + Dsin(3t)) + e^t(-3Csin(3t) + 3Dcos(3t)),
que podemos reorganizar como
y'(t) = e^tl((C + 3D)cos(3t) + (D - 3C)sin(3t)r)

Passo 6

Agora usamos y(0) = -1 e y'(0) = 2 para achar C e D. Em t = 0 temos y(0) = C = -1 e y'(0) = C + 3D = 2. Substituindo C = -1 em -1 + 3D = 2 obtemos D = 1.

Resposta

y(t) = e^tl(-cos(3t) + sin(3t)r)

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