Utilize o Método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular da EDO
e depois encontre sua solução geral.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a EDO
usando método dos coeficientes indeterminados. Esse é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes, então a estratégia é achar primeiro a solução homogênea
e depois uma solução particular
.
Passo 2
Resolvemos a parte homogênea montando a equação característica.
Passo 3
Passo 4
Isso dá as raízes
e, portanto,
Passo 5
Passo 6
Para a parte particular, como o termo de força é
e
já aparece em
, multiplicamos o palpite usual por
. Então propomos
Passo 7
Passo 8
Agora precisamos das derivadas de
para substituir na EDO. Calculando:
Passo 9
Passo 10
Passo 11
Substituindo na EDO:
Passo 12
Passo 13
Como isso deve ser igual a
, igualamos os coeficientes:
Passo 14
Passo 15
Logo a solução particular fica
Passo 16
Passo 17
Por fim, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Passo 18
Resposta
Uma solução particular é
. A solução geral é
.