Utilize o Método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular da EDO
y^prime prime-16 y=2 e^4 t
e depois encontre sua solução geral.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO y'' - 16y = 2e^4t usando método dos coeficientes indeterminados. Esse é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes, então a estratégia é achar primeiro a solução homogênea yh e depois uma solução particular yp.

Passo 2

Resolvemos a parte homogênea montando a equação característica.

Passo 3

r^2 - 16 = 0

Passo 4

Isso dá as raízes r = pm 4 e, portanto,

Passo 5

yh = C1 e^4t + C2 e^-4t

Passo 6

Para a parte particular, como o termo de força é 2e^4t e e^4t já aparece em yh, multiplicamos o palpite usual por t. Então propomos

Passo 7

yp = A t e^4t

Passo 8

Agora precisamos das derivadas de yp para substituir na EDO. Calculando:

Passo 9

yp' = A e^4t(1 + 4t),

Passo 10

yp'' = A e^4t(8 + 16t)

Passo 11

Substituindo na EDO:

Passo 12

yp'' - 16yp = A e^4t(8 + 16t) - 16A t e^4t = 8A e^4t

Passo 13

Como isso deve ser igual a 2e^4t, igualamos os coeficientes:

Passo 14

8A e^4t = 2e^4t implies A = tfrac14

Passo 15

Logo a solução particular fica

Passo 16

yp = tfrac14 t e^4t

Passo 17

Por fim, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:

Passo 18

y(t) = C1 e^4t + C2 e^-4t + tfrac14 t e^4t

Resposta

Uma solução particular é yp(t) = tfrac14 t e^4t. A solução geral é y(t) = C1 e^4t + C2 e^-4t + tfrac14 t e^4t.

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