Resolva o problema de valor de inicial (PVI) abaixo, utilizando um fator integrante mu=mu(t).
y^prime=1-y, com y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que diz respeito a uma equação diferencial: y' = 1 - y com a condição inicial y(0) = 0 . A matéria aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar um fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y' + P(t)y = Q(t)
No nosso caso, a equação y' = 1 - y pode ser reescrita como:
y' + y = 1
Aqui, identificamos P(t) = 1 e Q(t) = 1 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t), que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = 1 :
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t

Passo 4

Em seguida, vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(t):
e^ty' + e^ty = e^t cdot 1
Isso fica:
e^ty' + e^ty = e^t

Passo 5

A beleza do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto mu(t)y . Então, podemos escrever:
ddt(e^ty) = e^t

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t :
integral ddt(e^ty) , dt = integral e^t , dt
Isso resulta em:
e^ty = e^t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Para encontrar y , basta dividir ambos os lados por e^t :
y = e^t + Ce^t = 1 + Ce^-t

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 0 :
0 = 1 + C e^0 implies 0 = 1 + C implies C = -1

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(t) = 1 - e^-t

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