Resolva o problema de valor de inicial (PVI) abaixo, utilizando um fator integrante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que diz respeito a uma equação diferencial:
com a condição inicial
. A matéria aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar um fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, a equação
pode ser reescrita como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso fica:
Passo 5
A beleza do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
. Então, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: