Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
\left\{\begin{array}{l}\left(y^{2} \cos (x)-3 x^{2} y-2 x\right) d x+\left(2 y \operatorname{sen}(x)-x^{3}+\ln (y)\right) d y=0 \\\ y(0)=e\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\bigl(y^{2}\cos(x)-3x^{2}y-2x\bigr)\,dx \;+\;\bigl(2y\sin(x)-x^{3}+\ln(y)\bigr)\,dy=0, \qquad y(0)=e.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas. Vamos verificar se a equação é exata, depois encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y),\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y),
com
M(x,y)=y^{2}\cos(x)-3x^{2}y-2x, \quad N(x,y)=2y\sin(x)-x^{3}+\ln(y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\cos(x)-3x^{2}y-2x\bigr) =2y\cos(x)-3x^{2},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\sin(x)-x^{3}+\ln(y)\bigr) =2y\cos(x)-3x^{2}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) integrando M em relação a x:
\psi(x,y) =\int\bigl(y^{2}\cos(x)-3x^{2}y-2x\bigr)\,dx =y^{2}\sin(x)-x^{3}y -x^{2}+h(y),
onde h(y) é função que só depende de y.

Passo 4

Para determinar h(y), igualamos \partial\psi/\partial y a N:
\frac{\partial\psi}{\partial y} =2y\sin(x)-x^{3}+h'(y) \stackrel{!}{=}2y\sin(x)-x^{3}+\ln(y).
Logo
h'(y)=\ln(y),
h(y)=\int \ln(y)\,dy =y\ln(y)-y + C_{1}.
Como C_{1} será incorporado na constante geral, podemos tomar
h(y)=y\ln(y)-y.
Assim a função potencial é
\psi(x,y) =y^{2}\sin(x)-x^{3}y -x^{2}+y\ln(y)-y.

Passo 5

A condição inicial y(0)=e nos dá a constante da solução implícita. Avaliando em (x,y)=(0,e):
\psi(0,e) =e^{2}\sin(0)-0\cdot e -0 +e\ln(e)-e =0 +0 +0 +e\cdot1 -e =0.
Portanto a constante é zero e a solução implícita fica
y^{2}\sin(x)-x^{3}y -x^{2}+y\ln(y)-y=0.

Resposta

y^{2}\sin(x)-x^{3}y -x^{2}+y\ln(y)-y=0.

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