Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
\left\{\begin{array}{l}\left(e^{x}+y\right) d x+\left(2+x+y e^{y}\right) d y=0 \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
\bigl(e^x + y\bigr)\,dx + \bigl(2 + x + y e^y\bigr)\,dy = 0,\quad y(0)=1.
É uma equação diferencial de primeira ordem; vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = e^x + y \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = 2 + x + y e^y.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = e^x + y, \quad N(x,y) = 2 + x + y e^y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar \Phi(x,y), integramos M em relação a x:
\Phi(x,y) = \int \bigl(e^x + y\bigr)\,dx = e^x + x\,y + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Diferenciando \Phi em relação a y e igualando a N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = x + h'(y) = 2 + x + y e^y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 2 + y e^y.
Integramos em y:
h(y) = \int \bigl(2 + y e^y\bigr)\,dy = 2y + \bigl(y e^y - e^y\bigr) + C_1.
O termo constante C_1 pode ser absorvido na constante geral da solução.

Passo 5

Assim, a função potencial completa é
\Phi(x,y) = e^x + x y + 2y + y e^y - e^y.
A solução implícita da equação diferencial é
\Phi(x,y) = C,
ou seja
e^x + x y + 2y + y e^y - e^y = C.
Impondo a condição inicial y(0)=1, obtemos
C = \Phi(0,1) = e^0 + 0\cdot1 + 2\cdot1 + 1\cdot e^1 - e^1 = 1 + 2 + e - e = 3.

Resposta

e^x + x y + 2y + y e^y - e^y = 3.

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