Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
\left\{\begin{array}{l}(x+1) \frac{d y}{d x}+y=\ln (x) \\\ y(1)=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
(x+1)\frac{dy}{dx}+y=\ln(x),\quad y(1)=10
Isso é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão dividindo tudo por x+1:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}\,y=\frac{\ln(x)}{x+1}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{x+1}\,dx\Bigr)=\exp\bigl(\ln(x+1)\bigr)=x+1.
Multiplicando a equação padrão por \mu(x), obtemos
(x+1)\frac{dy}{dx}+\frac{x+1}{x+1}\,y=\ln(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl[(x+1)y\bigr]=\ln(x).

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
(x+1)y=\int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-x + C.
Logo a solução geral é
y(x)=\frac{x\ln(x)-x+C}{x+1}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(1)=10:
y(1)=\frac{1\cdot\ln(1)-1+C}{1+1}=\frac{0-1+C}{2}=10 \quad\Longrightarrow\quad C-1=20\;\Rightarrow\;C=21.

Resposta

y(x)=\frac{x\ln(x)-x+21}{x+1}.

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