Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
\left{ \begin{array}{l}2 \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}-\frac{x}{y^{2}} \\ y(1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
2\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}-\frac{x}{y^{2}},\quad y(1)=1.
Note que isso é uma equação de Bernoulli, pois pode ser escrita como
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}.
Vamos aplicar a técnica de Bernoulli para encontrar y(x).

Passo 2

Isolando \frac{dy}{dx} e dividindo por 2 obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}-\frac{x}{2y^{2}}.
Reescrevendo em forma padrão:
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{2x}\,y=-\frac{x}{2}\,y^{-2}.
Portanto P(x)=-\tfrac{1}{2x}, Q(x)=-\tfrac{x}{2} e n=-2.

Passo 3

Na Bernoulli faz-se u=y^{1-n}=y^{3}. Então
\frac{du}{dx}=3\,y^{2}\frac{dy}{dx}.
Substituindo \frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}-\frac{x}{2y^{2}} resulta
\frac{du}{dx} =3y^{2}\Bigl(\frac{y}{2x}-\frac{x}{2y^{2}}\Bigr) =\frac{3\,y^{3}}{2x}-\frac{3x}{2} =\frac{3}{2x}\,u-\frac{3}{2}\,x.

Passo 4

Agora a equação em u é linear:
\frac{du}{dx}-\frac{3}{2x}\,u=-\frac{3}{2}\,x.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int-\frac{3}{2x}dx\Bigr)=x^{-3/2}.
Multiplicando por x^{-3/2} o LHS vira \tfrac{d}{dx}(u\,x^{-3/2}) e o RHS fica -\tfrac{3}{2}x^{-1/2}. Integrando,
u\,x^{-3/2}=-3x^{1/2}+C \quad\Longrightarrow\quad y^{3}=u=-3x^{2}+C\,x^{3/2}.

Passo 5

Use a condição y(1)=1:
1^3=-3\cdot1^2+C\cdot1^{3/2}\implies1=-3+C\implies C=4.
Logo
y^{3}=4x^{3/2}-3x^2 \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\bigl(4x^{3/2}-3x^2\bigr)^{1/3}.

Resposta

y(x)=\bigl(4x^{3/2}-3x^2\bigr)^{1/3}.

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