Resolva o problema de valor inicial (PVI) dado.
\left{ \begin{array}{l}x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4} \\ y(1)=\frac{1}{2}\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
\left\{ \begin{array}{l} x^{2}\frac{dy}{dx}-2x\,y=3y^{4},\\\ y(1)=\tfrac12, \end{array} \right.
que é uma equação de Bernoulli de grau n=4. Para resolver, vamos primeiro pôr no formato
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{4}.

Passo 2

Dividindo a equação por x^2, obtemos
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}\,y=\frac{3}{x^{2}}\,y^{4}.
Aqui P(x)=-\tfrac{2}{x}, Q(x)=\tfrac{3}{x^{2}} e n=4.

Passo 3

Fazemos a substituição de Bernoulli
u=y^{\,1-n}=y^{-3}.
Então
\frac{du}{dx}=-3y^{-4}\,\frac{dy}{dx}.
Substituindo \frac{dy}{dx} na equação original e simplificando, chega-se a
x^{2}\frac{du}{dx}+6x\,u=-9,
que é uma equação linear em u.

Passo 4

Escrevendo em forma padrão,
\frac{du}{dx}+\frac{6}{x}\,u=-\frac{9}{x^{2}},
o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int\frac{6}{x}dx}=x^{6}.
Multiplicando por \mu(x) e integrando:
\frac{d}{dx}(x^{6}u)=-9x^{4} \quad\Longrightarrow\quad x^{6}u=-\frac{9x^{5}}{5}+C \quad\Longrightarrow\quad u=-\frac{9}{5x}+Cx^{-6}.

Passo 5

Voltando a y, temos
y^{-3}=u=-\frac{9}{5x}+Cx^{-6}.
Aplicando a condição inicial y(1)=\tfrac12
8=y^{-3}(1)=-\frac{9}{5}+C \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{49}{5}.

Passo 6

Portanto
y^{-3}=\frac{-9x^{5}+49}{5x^{6}} \quad\Longrightarrow\quad y^{3}=\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}} \quad\Longrightarrow\quad y=\Bigl(\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}\Bigr)^{1/3}.

Resposta

y(x)=\Bigl(\frac{5x^{6}}{49-9x^{5}}\Bigr)^{\!1/3}.

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