Resolva os problemas de valor inicial:
d yd x=x(x^2+1)4 y^3, y(0)=-1raiz2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial
dydx=xl(x^2+1r)4,y^3, y(0)=-1raiz2
O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar y e x, integrar e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo todos os termos em y de um lado e em x do outro:
4,y^3,dy = xl(x^2+1r),dx
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Integramos o lado esquerdo em y e o direito em x:
integral 4,y^3,dy = integral xl(x^2+1r),dx
O resultado das integrais é
y^4 = x^44 + x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=-tfrac1raiz2. Substituindo x=0 e y=-tfrac1raiz2 em
y^4 = x^44 + x^22 + C
obtemos
l(-tfrac1raiz2r)^4 = 0 + 0 + C Longrightarrow 14 = C
Portanto a solução implícita é
y^4 = x^44 + x^22 + 14 = l(x^2+1r)^24

Passo 5

Tiramos a quarta raiz de ambos os lados. Primeiro notamos que
y^4 = l(x^2+1r)^24 Longrightarrow y^2 = x^2+12
Em seguida
y = pmraizx^2+12
Para escolher o sinal, usamos que y(0)=-tfrac1raiz2<0. Logo, ficamos com o ramo negativo:

Resposta

boxedy(x) = -raizx^2+12,

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