Utilize o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para
Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-y=\frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-y=\frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.
O que o problema pede é: encontrar uma solução particular da equação usando o método de variação de parâmetros e, em seguida, escrever a solução geral. Dados relevantes: o termo não homogêneo é \displaystyle \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} e a equação homogênea associada é y''-y=0.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''-y=0.
Usamos a equação característica r^{2}-1=0. As raízes são r=1 e r=-1. Logo duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x}\quad\text{e}\quad y_{2}(x)=e^{-x}.
A solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos variação de parâmetros para obter uma solução particular. A ideia: procuramos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Há fórmulas padrão (para a forma y''+P(x)y'+Q(x)y=G(x)) que nos dão as derivadas u_{1}' e u_{2}':
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Observação: o -\tfrac{1}{2} pode ser absorvido em C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x} apenas se permitíssemos constantes dependentes de x; aqui mantemos a forma usual separando a particular.)