Utilize o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular para
Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-y=\frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-y=\frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.
O que o problema pede é: encontrar uma solução particular da equação usando o método de variação de parâmetros e, em seguida, escrever a solução geral. Dados relevantes: o termo não homogêneo é \displaystyle \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}} e a equação homogênea associada é y''-y=0.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''-y=0.
Usamos a equação característica r^{2}-1=0. As raízes são r=1 e r=-1. Logo duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x}\quad\text{e}\quad y_{2}(x)=e^{-x}.
A solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos variação de parâmetros para obter uma solução particular. A ideia: procuramos uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Há fórmulas padrão (para a forma y''+P(x)y'+Q(x)y=G(x)) que nos dão as derivadas u_{1}' e u_{2}':
u_{1}'=-\frac{G(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'=\frac{G(x)\,y_{1}(x)}{W(x)},
onde W(x) é o Wronskiano de y_{1},y_{2}. No nosso caso a equação está na forma y''+0\cdot y'-1\cdot y=G(x) com
G(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano W de y_{1}=e^{x} e y_{2}=e^{-x}:
W=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{x} & e^{-x} \\\ e^{x} & -e^{-x}\end{vmatrix} = e^{x}(-e^{-x})-e^{x}e^{-x}=-1-1=-2.
Portanto W=-2, constante.

Passo 5

Aplicamos as fórmulas:
u_{1}'=-\frac{G(x)\,y_{2}}{W}=-\frac{\displaystyle \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}\cdot e^{-x}}{-2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{x}e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}.
u_{2}'=\frac{G(x)\,y_{1}}{W}=\frac{\displaystyle \frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}\cdot e^{x}}{-2} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{2x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Assim temos expressões simples para u_{1}' e u_{2}'.

Passo 6

Integramos u_{1}'. Para facilitar, fazemos a substituição t=e^{x}, logo dt=e^{x}dx=t\,dx e dx=dt/t. Observe que
u_{1}'=\frac{1}{2(e^{x}+e^{-x})}=\frac{1}{2\bigl(t+\tfrac{1}{t}\bigr)}=\frac{t}{2(t^{2}+1)}.
Multiplicando por dx=dt/t ao integrar:
u_{1}=\int u_{1}'\,dx=\int \frac{t}{2(t^{2}+1)}\cdot\frac{dt}{t} =\int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{t^{2}+1}\,dt =\frac{1}{2}\arctan(t)+C.
Voltando a x (com t=e^{x}) e escolhendo a constante de integração zero para obter uma particular conveniente,
u_{1}(x)=\frac{1}{2}\arctan\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 7

Agora integramos u_{2}'. Usamos novamente t=e^{x}, dx=dt/t. Temos
u_{2}'=-\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{2x}}{e^{x}+e^{-x}}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{2}}{t+\tfrac{1}{t}} =-\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{3}}{t^{2}+1}.
Ao multiplicar por dx=dt/t:
u_{2}=\int u_{2}'\,dx=\int -\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{3}}{t^{2}+1}\cdot\frac{dt}{t} =\int -\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{2}}{t^{2}+1}\,dt.
Reescrevemos o integrando usando \frac{t^{2}}{t^{2}+1}=1-\frac{1}{t^{2}+1}:
u_{2}=-\frac{1}{2}\int\left(1-\frac{1}{t^{2}+1}\right)dt =-\frac{1}{2}\left(t-\arctan(t)\right)+C.
Voltando para x e escolhendo a constante de integração zero para a particular,
u_{2}(x)=-\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}\arctan\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 8

Construímos a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo y_{1}=e^{x}, y_{2}=e^{-x} e as funções u_{1}, u_{2}:
y_{p}=\frac{1}{2}\arctan\bigl(e^{x}\bigr)\,e^{x}+\Bigl(-\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}\arctan\bigl(e^{x}\bigr)\Bigr)e^{-x}.
Distribuímos e simplificamos:
y_{p}=\frac{1}{2}e^{x}\arctan\bigl(e^{x}\bigr)-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-x}\arctan\bigl(e^{x}\bigr).
Agrupando os termos com \arctan(e^{x}):
y_{p}=\frac{1}{2}\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)\arctan\bigl(e^{x}\bigr)-\frac{1}{2}.
Como \displaystyle \frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})=\operatorname{cosh} x, podemos escrever de forma mais compacta:
y_{p}=\operatorname{cosh} x\;\arctan\bigl(e^{x}\bigr)-\frac{1}{2}.

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+\operatorname{cosh} x\;\arctan\bigl(e^{x}\bigr)-\frac{1}{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Observação: o -\tfrac{1}{2} pode ser absorvido em C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x} apenas se permitíssemos constantes dependentes de x; aqui mantemos a forma usual separando a particular.)

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+\operatorname{cosh} x\;\arctan\bigl(e^{x}\bigr)-\dfrac{1}{2}

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