Resolva o problema de valor inicial.
y^prime prime-5 y^prime+4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 5y' + 4y = 0, y(0)=0, y'(0)=1
Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y(x)=e^r x. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
r^2 - 5r + 4 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, achamos as raízes r.

Passo 3

Calculamos as raízes de
r^2 - 5r + 4 = 0
pelo produto e soma de raízes ou fórmula de Bhaskara. As soluções são
r1 = 1, r2 = 4

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x + C2 e^4x

Passo 5

Derivando para aplicar a segunda condição inicial, temos
Em
Resolvendo o sistema
obtemos .

Resposta

y(x) = -tfrac13e^x + tfrac13e^4x = tfrac13l(e^4x - e^xr)

Exercícios relacionados