Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Utilize o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação no Limite. Compare cada termo an com uma série conhecida, como p-séries, séries geométricas, séries telescópicas, etc.)
sumn=1^infty 1n^2+n+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty an, an = 1n^2 + n + 1
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar o Teste da Comparação no Limite, comparando an com a p-série
bn = 1n^2,
sabendo que sum bn converge para p=2>1.

Passo 2

Definimos bn = 1/n^2 e calculamos o limite
L = limntoinfty anbn = limntoinfty 1n^2+n+11n^2 = limntoinfty n^2n^2+n+1

Passo 3

Para encontrar L, dividimos numerador e denominador por n^2:
L = limntoinfty 11 + tfrac1n + tfrac1n^2 = 11+0+0 = 1
Como 0 < L < infty, o Teste da Comparação no Limite diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que sumn=1^infty bn = sum 1n^2 é convergente (é uma \emph{ p-série} com p=2>1). Logo, pela comparação no limite, sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^2+n+1 é convergente.

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