Resolva os problemas a seguir envolvendo a equação de Cauchy-Euler
\left{ lx^2 y^prime prime+x y^prime+y=0 y(1)=1, y^prime(1)=2\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Cauchy–Euler
x^2y'' + x,y' + y = 0
com as condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=2. Vamos usar a técnica de tentar uma solução da forma y=x^m para obter a equação característica em m.

Passo 2

Assumindo y=x^m, temos
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação de Cauchy–Euler:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] + xl[m,x^m-1r] + x^m = 0
simplifica para
m(m-1) + m + 1 = 0

Passo 3

A equação característica é
m^2 - m + m + 1 = m^2+1 = 0,
cuja solução é
m = pm i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas 0 pm i, a solução geral da EDO fica
y(x) = C1cosl(ln xr) + C2sinl(ln xr)

Passo 5

Derivando essa solução:
y'(x) = -C1x,sinl(ln xr) + C2x,cosl(ln xr)
Usando x=1:
y(1)=C1cos0 + C2sin0 = C1=1,
y'(1) = -C1sin0 + C2cos0 = C2=2

Resposta

y(x) = cosl(ln xr) + 2,sinl(ln xr)

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