Resolva os problemas a seguir
ld xd t=3 x-y-z d yd t=x+y-z d zd t=x-y+z

Passo 1

Temos um sistema linear homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem
d xd t=3x - y - z, d yd t=x + y - z, d zd t=x - y + z,
cuja forma matricial é x'=Ax, com
A = 3 & -1 & -1 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1
Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det 3-lambda & -1 & -1 1 & 1-lambda & -1 1 & -1 & 1-lambda = -lambda^3 +5lambda^2 -8lambda +4
que fatoriza como
lambda^3 -5lambda^2 +8lambda -4 = (lambda -1)(lambda -2)^2 = 0
Logo, os autovalores são lambda1=1 (simples) e lambda2=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 3

Para , resolvemos , i.e.
Um autovetor é

Passo 4

Para , resolvemos , i.e.
A dimensão do espaço próprio é 2, e podemos escolher dois autovetores independentes, por exemplo

Passo 5

Como temos três autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear das soluções elementares
Em componentes,

Resposta

x(t)=C1 e^t + l(C2+C3r)e^2t, y(t)=C1 e^t + C2 e^2t, z(t)=C1 e^t + C3 e^2t,
com C1,C2,C3 constantes arbitrárias.

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